Da Hilbert a Godel

D. Hilbert

Nel pieno della sbornia illuminista, alla fine del XIX secolo, il matematico tedesco David Hilbert concepì il progetto di voler assolutizzare la scienza. Erano gli anni degli enormi progressi della tecnologia ottocentesca e parve a tutti assodato che l’uomo non avesse più bisogno del metafisico, di Dio insomma. “Dio è morto. Dio resta morto. E noi l’abbiamo ucciso.” proclamava trionfante  Nietzche all’orbe terraqueo. La “scienza della materia” ed i calcoli su cui si basava  avrebbero dato all’umanità sicurezza e prosperità infinite. Ma c’era un problema, anzi, dei problemi.

“Hilbert intuiva che quella libertà di creare, che trasformava gli uomini in dei (e liberavano l’uomo da Dio), i matematici dovevano guadagnarsela con delle prove inconfutabili. […] era necessario compiere un ultimo sforzo, il più difficile: dimostrare che le creazioni umane sono armoniose e perfette quanto quelle della Natura”. (Di Saverio G. –Dal paradiso di Hilbert all’inferno di Gödel). La posta in palio era la più grande. La religione scientista, fondata sul dogma matematico, si preparava a  scalzare la religione cristiana, fondata sul dogma della rivelazione biblica. “Sono convinto che prima del 1860 io predicherò il positivismo a Notre Dame come la sola religione reale e completa”(A. Comte, Lettera a Madame de Thoulouze).

Hilbert sapeva di vivere uno dei passaggi storici cruciali e sapeva che per fare l’ultimo passo era necessario che la matematica fosse inattaccabile: “Dove trovare sicurezza e verità se non si trovano neppure nel pensiero matematico“. (Hilbert D., discorso di monaco, 1925). Così, indossato il ruolo di leader della comunità scientifica, al congresso internazionale di Bologna del 1928 indicò 10 (poi divenuti 23) problemi da risolvere perchè la matematica fosse coerente e completa, in altre parole assoluta. La comunità matematica mondiale si tuffò così nel  cosiddetto programma “formalista”.

K. Godel

A Bologna, in quel 1928, ad ascoltare Hilbert c’era anche un giovane matematico ceco di nome Kurt Gödel. Egli accettò la sfida di Hilbert concentrando i sui sforzi sulla logica matematica. La sua prima grande scoperta (ottenuta assieme ad Hans Hahn) fu di dimostrare che è possibile creare una relazione veritiera tra logica e simbolo. Volgarmente, diveniva possibile scrivere la logica con i numeri, un altro punto a favore del “formalismo”. Ma nel 1933, ormai professore a Princeton, Gödel, tra un esaurimento nervoso e l’altro,  pubblicò i suoi teoremi d’incompletezza, destinati ad aver un enorme influenza sul pensiero filosofico successivo. I due teoremi risolvono uno dei problemi proposti da Hilbert ma, nel farlo, devastano l’impianto complessivo del formalismo.

Ecco cosa dicono:

Godel 1: In ogni formalizzazione coerente della matematica […] è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema

Il primo teorema dimostra che qualsiasi sistema formale(come la matematica) incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Godel 2: Nessun sistema, che sia abbastanza coerente ed espressivo da contenere l’aritmetica, può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.

Il secondo certifica che se si prende un qualsiasi enunciato casuale, non sarà possibile stabilire se esso è o non è un assioma del sistema. Pertanto data una qualsiasi dimostrazione, in generale, non sarà più possibile verificarne la correttezza.

La matematica rimase solo un utile strumento, prepotentemente sovrastata dall’insight, l’intuito umano; la metafisica non fu spazzata via, tuttt’altro.

 

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