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Da Hilbert a Godel

D. Hilbert

Nel pieno della sbornia illuminista, alla fine del XIX secolo, il matematico tedesco David Hilbert concepì il progetto di voler assolutizzare la scienza. Erano gli anni degli enormi progressi della tecnologia ottocentesca e parve a tutti assodato che l’uomo non avesse più bisogno del metafisico, di Dio insomma. “Dio è morto. Dio resta morto. E noi l’abbiamo ucciso.” proclamava trionfante  Nietzche all’orbe terraqueo. La “scienza della materia” ed i calcoli su cui si basava  avrebbero dato all’umanità sicurezza e prosperità infinite. Ma c’era un problema, anzi, dei problemi.

“Hilbert intuiva che quella libertà di creare, che trasformava gli uomini in dei (e liberavano l’uomo da Dio), i matematici dovevano guadagnarsela con delle prove inconfutabili. […] era necessario compiere un ultimo sforzo, il più difficile: dimostrare che le creazioni umane sono armoniose e perfette quanto quelle della Natura”. (Di Saverio G. –Dal paradiso di Hilbert all’inferno di Gödel). La posta in palio era la più grande. La religione scientista, fondata sul dogma matematico, si preparava a  scalzare la religione cristiana, fondata sul dogma della rivelazione biblica. “Sono convinto che prima del 1860 io predicherò il positivismo a Notre Dame come la sola religione reale e completa”(A. Comte, Lettera a Madame de Thoulouze).

Hilbert sapeva di vivere uno dei passaggi storici cruciali e sapeva che per fare l’ultimo passo era necessario che la matematica fosse inattaccabile: “Dove trovare sicurezza e verità se non si trovano neppure nel pensiero matematico“. (Hilbert D., discorso di monaco, 1925). Così, indossato il ruolo di leader della comunità scientifica, al congresso internazionale di Bologna del 1928 indicò 10 (poi divenuti 23) problemi da risolvere perchè la matematica fosse coerente e completa, in altre parole assoluta. La comunità matematica mondiale si tuffò così nel  cosiddetto programma “formalista”.

K. Godel

A Bologna, in quel 1928, ad ascoltare Hilbert c’era anche un giovane matematico ceco di nome Kurt Gödel. Egli accettò la sfida di Hilbert concentrando i sui sforzi sulla logica matematica. La sua prima grande scoperta (ottenuta assieme ad Hans Hahn) fu di dimostrare che è possibile creare una relazione veritiera tra logica e simbolo. Volgarmente, diveniva possibile scrivere la logica con i numeri, un altro punto a favore del “formalismo”. Ma nel 1933, ormai professore a Princeton, Gödel, tra un esaurimento nervoso e l’altro,  pubblicò i suoi teoremi d’incompletezza, destinati ad aver un enorme influenza sul pensiero filosofico successivo. I due teoremi risolvono uno dei problemi proposti da Hilbert ma, nel farlo, devastano l’impianto complessivo del formalismo.

Ecco cosa dicono:

Godel 1: In ogni formalizzazione coerente della matematica […] è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all’interno dello stesso sistema

Il primo teorema dimostra che qualsiasi sistema formale(come la matematica) incompleto: esso contiene affermazioni di cui non si può dimostrare né la verità né la falsità.

Godel 2: Nessun sistema, che sia abbastanza coerente ed espressivo da contenere l’aritmetica, può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza.

Il secondo certifica che se si prende un qualsiasi enunciato casuale, non sarà possibile stabilire se esso è o non è un assioma del sistema. Pertanto data una qualsiasi dimostrazione, in generale, non sarà più possibile verificarne la correttezza.

La matematica rimase solo un utile strumento, prepotentemente sovrastata dall’insight, l’intuito umano; la metafisica non fu spazzata via, tuttt’altro.

 

Matematica da Dio

“La consistenza matematica del nostro universo è certamente una ragione per vedere il Dio creatore dell’universo, come ben espresso dal papa Benedetto XVI nel suo discorso. Tuttavia, c’è qualcosa di più. La matematica astratta, in quanto coerente scienza della verità logica, ci rinforza nella certezza della verità assoluta che è Dio. Dio è Creatore, Amore infinito, e Verità infinita”

Enrico Bombieri, matematico vincitore del premio Fields, Tutti i numeri di Dio, Il Foglio quotidiano, 23 aprile 2015

Matematicamente bravo

A. Figalli

Alessio Figalli ha vinto la Medaglia Fields, una sorta di “Nobel della matematica”. Nuovo lustro per la scienza italiana, anche perchè la cosa si è ripetuta solo un’altra volta, nel lontano 1974, con Enrico Bombieri. Il successo del matematico romano dimostra che in Italia ci sono cervelli d’eccellenza, che ci sono scuole d’eccellenza e che il “classico” continua ad essere una fucina di personaggi di successo. Figalli proviene infatti dal liceo romano Vivona, ma lo stesso prof, Bombieri, il fisico Antonino Zichichi e la direttrice del CERN Fabiola Gianotti, provengono tutti da licei classici italiani (la Gianotti addirittura dalle Orsoline). In un mondo dominato dalla cultura tecno/scientifica è un caso che grandi ricrcatori crescano in mezzo alla filosofia ed alle versioni di latino e greco? C’è da ragionarci su,  anche sul fatto che questi ultimi siano  credenti. Si può evidentemente mettere assieme fede e scienza e non solo in Italia: il matematico francese Laurent Lafforgue ad esempio, altro premio Fields, la mette in questo modo: «La matematica è la prova che tutto obbedisce a Dio»(Intervista nella Biblioteca Nazionale di Francia, 2009). Ma ritornando a noi, doverosi complimenti, prof. Figalli!

Logica insufficienza

Epimenide di Creta (VIII- VII secolo a. C.) fu un filosofo e taumaturgo greco che conosciamo soprattutto per il “paradosso del mentitore”. La sua affermazione:  «tutti i Cretesi sono bugiardi» è giunta fino a noi come esempio di indecidibilità (impossibilità di verifica circa la sua veridicità o falsità).

Era infatti egli cretese e questo rendeva la frase falsa; ma anche fosse stato, putacaso, solo in questa occasione veritiero, la frase sarebbe stata di nuovo falsa in quanto perchè non tutti i Cretesi erano bugiardi. Nel cosro dei secoli altre formulazioni del paradosso sono state formulate, la più famosa delle quali è: “questa frase è falsa”(se fosse vera allora non sarebbe falsa sul serio, se fosse falsa in senso verrebbe ribaltato). Ma quale è la rilevanza per la logica moderna di questi antichi giochetti?

La rilevanza sta nel fatto con esse ci si accorse che esistono formulazioni indecidibili e che queste che queste contagiano pure la  matematica. Di più, Kurt Gödel dimostrò nel 1930 che è la stessa matematica a soffrire di indecidibilità. La scoperta dell’ “incompletezza della matematica” portò il programma scientista di fine ottocento in un vicolo cieco: fu chiaro che le scienze fondate sulla matematica non possono dare risposte assolute ed oggettive (senza l’intervento dell’intuito umano). Insomma un macigno sulla scienza che ha prodotto “… il profondo malessere intellettuale che da 75 anni opprime le migliori menti. Una crisi attutita, latente, sotterranea, ha continuato a strisciare fino ai nostri giorni..” ( G. Di Saverio, professore di filosofia, 2003 ). Ma ne parleremo ancora..

 

Chi controlla gli algoritmi?

Un algoritmo è un procedimento logico-matematico che, grazie ad una serie finita di istruzioni o regole, conduce ad una risoluzione di un problema. Più semplicemente, è una “macchina” matematica che, inseriti dei dati, fornisce risposte. I programmi del computer sono basati su algoritmi. Oggi sono ovunque: regolano i social ed il mercato finanziario, prevedono il tempo meteorologico, costituiscono il nerbo dei software dei computer e dei robot, guidano gli aerei, le navi, e le automobili lo saranno a breve. Esistono dei rischi nell’affidare l’intero pianeta ad un mucchio di calcoli matematici? A questa ed ad altre domande tenta di rispondere Ed Finn, ricercatore dell’Università dell’Arizona in un libro intitolato ”Che cosa vogliono gli algoritmi”. Dal titolo traspare addirittura la possibilità che i calcoli possano portare ad una intenzionalità. “Non abbiamo prove per sostenere che gli algoritmi abbiano intenzionalità, creatività o qualsiasi altro tratto che consideriamo necessario per l’immaginazione” conclude l’americano, caldeggiando comunque lo sviluppo di una nuova disciplina scientifica che indaghi il problema: una sorta di scienze umane sperimentali. Naturalmente tale idea poggia sulla fede che la coscienza sia un fenomeno ”fisico”, cosa ad oggi non dimostrabile. E nonostante molti ritengano che, come conseguenza dei teoremi di Gödel, la “cosci

K. Godel

enza artificiale” sia impossibile, alcuni ritengono possibile che la sofisticazione dei calcoli algoritmici, per inciso capaci di creare algoritmi a loro volta, ad un certo punto possa sfuggire al controllo della mente umana: chi potrebbe controllare se un risultato di un mega-calcolatore è giusto o sbagliato quando chi lo ha creato non è in grado di verificare le istruzioni che il calcolatore stesso ha rielaborato a partire da quelle originarie? Ricordate “Al” di 2001 Odissea nello Spazio? Ecco, il problema esiste ma la soluzione proposta da Finn lo è ancora di più: come antidoto alla paura, altra fredda scienza, numeri che controllano numeri. Algoritmi controllori di algoritmi, inquietante. Pensiamo ad un’altra soluzione prima di finire schiavi in un mondo governato da una sorta di “Matrix”.